【2020年1月】最後のセンター試験:数学Ⅰの解説をしてみる

こんにちは。

今年は最後のセンター試験が行われましたね。

数学好きの私としては記念に解いてみたくなったので、数学Iの問題を解きついでに解説をしたいと思います。

問題部分は赤マーカーしており、多少略して記載してます。

しっかりした問題は東進のページからどうぞ。

https://www.toshin.com/center/sp/sugaku-1_mondai_0.html

 

数学ⅠAや数学Ⅱや数学ⅡBの解説をお探しなら。

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第1問

 

その1:2次不等式と有理化

 

(1) \(y=(a^2-2a-8)x+a\)の傾きが負となるときの\(a\)の範囲は?

→ こちら2次不等式の問題ですね。傾きが負なので、\(x\)の係数が負となればいいので、

\begin{align}
a^2-2a-8>0 \\
(a-4)(a+2)>0 \\
a<-2, 4<a
\end{align}

\(\tag{アイウ}\)

 

(2) \(a^2-2a-8\neq0\)のとき、(1)の直線と\(x\)軸の交点を\(b\)とするとき、\(a>0\)のとき\(b>0\)となる\(a\)の範囲?

→ \((b, 0)\)を代入したのときの\(b\)が正になればいい。

\begin{align}
0=(a^2-2a-8)b+a \\
b=\frac{-a}{(a-4)(a+2)} \\
\end{align}

\(0<a<4\)のとき\(a>0\), \((a-4)(a+2)<0\)だから

\begin{align}
b=\frac{-a}{(a-4)(a+2)}>0
\end{align}

\(4<a\)のとき\(a>0\), \((a-4)(a+2)>0\)だから

\begin{align}
b=\frac{-a}{(a-4)(a+2)}<0
\end{align}

よって、\(0<a<4\)\(\tag{エオ}\)

 

また、\(a\;{\leq}\;0\)のとき、\(b>0\)となる\(a\)の範囲?

\(-2<a\;{\leq}\;0\)のとき、\(a\;{\leq}\;0\), \((a-4)(a+2)<0\)だから

\begin{align}
b=\frac{-a}{(a-4)(a+2)}\;{\leq}\;0
\end{align}

\(a<-2\)のとき、\(a<0\), \((a-4)(a+2)>0\)だから

\begin{align}
b=\frac{-a}{(a-4)(a+2)}>0
\end{align}

 

よって、\(a<-2\)\(\tag{カキ}\)

 

また、\(a=\sqrt{3}\)のときの\(b\)は?

→ \(b=\displaystyle{\frac{-a}{(a-4)(a+2)}}\)に\(a=\sqrt{3}\)を代入すればいい

\begin{align}
b&=\frac{-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2)} \\
b&=\frac{-\sqrt{3}(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-2)} \\
b&=\frac{(-3-4\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(3-16)(3-4)} \\
b&=\frac{5\sqrt{3}-6}{13}
\end{align}

\(\tag{クケコサシ}\)

 

(3) \(f(x)=(a^2-2a-8)x+a\)と置く。\(a<0\)かつ\(|f(1)+f(-1)|=1\)を満たす\(a\)の値は?

\begin{align}
|f(1)+f(-1)|&=1 \\
|(a^2-2a-8)+a-(a^2-&2a-8)+a|=1 \\
|2a|&=1 \\
2a&=\pm1
\end{align}

\(a<0\)なので、\(a=\displaystyle{\frac{-1}{2}}\)\(\tag{スセソ}\)

 

\(a=\displaystyle{\frac{-1}{2}}\)かつ\(-2\;\leq\;f(x)\;\leq\;2\)のとき、\(f(x)\)の取りうる値の範囲は?

\(a=\displaystyle{\frac{-1}{2}}\)を代入すると、

\begin{align}
f(x)&=((\frac{-1}{2})^2+2\cdot\frac{1}{2}-8)x-\frac{1}{2} \\
&=\frac{-27}{4}x-\frac{1}{2}
\end{align}

 

\(f(x)\)は\(x=2\)のとき最小値\(f(2)=-14\)、\(x=-2\)のとき最大値\(f(-2)=13\)をとる。

よって、

\begin{align}
-14\;\leq\;f(x)\;\leq\;13
\end{align}

\(\tag{タチツテト}\)

 

その2:命題と集合

 

命題:\(p\),\(q\),\(r\), 集合:\(P\),\(Q\),\(R\)を以下のように与えられる。

\(p\):\(4\)の倍数

\(q\):\(6\)の倍数

\(r\):\(24\)の倍数

\(P\):\(4\)の倍数の自然数全体の集合

\(Q\):\(6\)の倍数の自然数全体の集合

\(R\):\(24\)の倍数の自然数全体の集合

正しい記号や式を選ぶ問題3問

(1) \(32\;{\in}\;P\cap\overline{Q}\)\(\tag{ナ}\)

また、\(50\;{\in}\;\overline{P}\cap\overline{Q}\cap\overline{R}\)\(\tag{ニ}\)

(2)\(P\;{\cap}\;Q\)に属する最小の自然数は\(12\)である。\(\tag{ヌネ}\)

また、\(12\;{\notin}\;R\)である。\(\tag{ノ}\)

(3)自然数\(12\)は\((pかつq)\;{\Rightarrow}\;r\)の反例である。\(\tag{ハ}\)

 

第2問

 

その1:2次関数

 

(1) \(a, b\)を定数とする。2次関数\(y=x^2+ax+b\)を\(F\)とする。

 

選択肢から正しいものを選ぶ問題。選択肢は以下

0… 「\(F\)は上に凸」

1… 「\(F\)は下に凸」

2… 「\(a^2>4b\)のとき\(F\)と\(x\)軸は共通点を持たない」

3… 「\(a^2<4b\)のとき\(F\)と\(x\)軸は共通点を持たない」

4… 「\(a^2>4b\)のとき\(F\)と\(y\)軸は共通点を持たない」

5… 「\(a^2<4b\)のとき\(F\)と\(y\)軸は共通点を持たない」

 

まず、\(x^2\)の係数が正なので、

1… 「\(F\)は下に凸」は正しい。\(\tag{ア}\)

 

もう一つは、2次関数が\(x\)軸と交点を持たない条件、判別式が負に注目すると、

\(F\)の判別式は\(a^2-4b\)なので、

3… 「\(a^2<4b\)のとき\(F\)と\(x\)軸は共通点を持たない」が正しい\(\tag{イ}\)

 

(2) 2次関数\(y=x^2+2x-1\)の\(-3\;\leq\;x\;\leq\;2\)における最小値、最大値は?

 

\(y=x^2+2x-1\)を平方完成すると、\(y=(x+1)^2-2\)

よって、\(y=x^2+2x-1\)は\(y=x^2\)を\(x\)軸方向に\(-1\)、\(y\)軸方向に\(-2\)だけ平行移動したグラフ。

 

下に凸なので、\(x=-1\)のときに最小値\(-2\)、\(x=2\)のときに最大値を取る。その最大値は、\(x=2\)を代入して、

\begin{align}
(2+1)^2-2=7 \\
\end{align}

最大値\(7\)、最小値\(-2\)\(\tag{ウ}\)

 

その2:2次関数

 

\(c\)を定数とする。2次関数\(y=x^2\)のグラフを2点\((c, 0), (c+4, 0)\)を通るように平行移動して得られるグラフを\(G\)とする。

 

(1) \(G\)のグラフを\(c\)を用いて\(y=x^2+px+q\)の形で表すと?

 

点\((c, 0)\)を代入して、

\begin{align}
0&=c^2+pc+q \\
-q&=c^2+pc
\end{align}

点\((c+4, 0)\)を代入して、

\begin{align}
0&=(c+4)^2+p(c+4)+q \\
0&=c^2+8c+16+pc+4p+q \\
0&=c^2+(8+p)c+4p+q+16
\end{align}

\(q\)を消去して\(p, q\)を求めると、

\begin{align}
0&=c^2+(8+p)c+4p-(c^2+pc)+16 \\
0&=8c+4p+16 \\
p&=-2(c+2)
\end{align}

 

\begin{align}
q&=-c^2-pc \\
q&=-c^2+2(c+2)c \\
q&=c(c+4)
\end{align}

よって\(G\)は\(y=x^2-2(c+2)x+c(c+4)\)と表せる。\(\tag{エオ}\)

 

\(G\)が点\((3, k)\)を通るとき、\(k\)は\(c\)を用いてどう表せる?

 

求めた式に\((3, k)\)を代入して、

\begin{align}
k&=3^2-2(c+2)\cdot3+c(c+4) \\
k&=c^2-2c-3 \\
k&=(c-1)^2-4
\end{align}

\(\tag{カキ}\)

 

\(c\)が実数全体を動くとき、\(k\)の取りうる最小値は?

 

\(k=(c-1)^2-4\)であり、下に凸なので、\(c=1\)のとき、最小値\(-4\)をとる。\(\tag{クケ}\)

 

\(-3\;\leq\;k\;\leq\;0\)であるような\(c\)の範囲は?

 

2次不等式:\(-3\;\leq\;(c-1)^2-4\;\leq\;0\)を解けばいい。左側を解く。

\begin{align}
-3&\;\leq\;(c-1)^2-4 \\
c^2-2c&\;\geq\;0 \\
c(c-2)&\;\geq\;0
\end{align}

よって、\(c\;\leq\;0,\;2\;\leq\;c\)

右側を解く。

\begin{align}
(c-1)^2-4&\;\leq\;0 \\
c^2-2c-3&\;\leq\;0 \\
(c+1)(c-3)&\;\leq\;0
\end{align}

よって、\(-1\;\leq\;c\;\leq\;3\)

 

求める\(c\)の範囲は、上記の共通部分なので、

\begin{align}
-1\;\leq\;c\;\leq\;0, 2\;\leq\;c\;\leq\;3
\end{align}

\(\tag{コサシス}\)

 

(2) \(2\;\leq\;c\;\leq\;3\)を考える。\(G\)が点\((3, -1)\)を通るとき、\(G\)は\(y=x^2\)を\(x\)軸方向、\(y\)軸方向にどれだけ平行移動したものか?

 

\(G\)に点\((3, -1)\)を代入する。

\begin{align}
-1&=3^2-2(c+2)\cdot3+c(c+4) \\
0&=c^2-2c-2
\end{align}

これを解き、\(2\;\leq\;c\;\leq\;3\)に注意すると\(c=1+\sqrt{3}\)

\(G\)に代入して

\begin{align}
y&=x^2-2(c+2)x+c(c+4) \\
y&=(x-(c+2))^2-4 \\
y&=(x-(3+\sqrt{3}))^2-4
\end{align}

よって\(G\)は\(y=x^2\)を\(x\)軸方向に\(3+\sqrt{3}\)、\(y\)軸方向に\(-4\)だけ平行移動したもの\(\tag{セソタチ}\)

 

このとき、\(G\)と\(y\)軸の交点の\(y\)座標は?

 

\(G\)に\(x=0\)を代入する。

\begin{align}
y&=(0-(3+\sqrt{3}))^2-4 \\
&=9+6\sqrt{3}+3-4 \\
&=8+6\sqrt{3}
\end{align}

 

第3問:三角比

 

(1) \(△ABC\)において\(AB=5, BC=6, CA=\sqrt{21}\)とする。

このとき、\(\cos{∠ABC}\)と、\(\sin{∠ABC}\)の値は?

 

余弦定理を使って、

\begin{align}
CA^2&=AB^2+BC^2+2AB{\cdot}BC{\cdot}\cos{∠ABC} \\
21&=25+36+60\cos{∠ABC} \\
&\cos{∠ABC}=-\frac{2}{3}
\end{align}

\(\tag{アイ}\)

\(\sin\)と\(\cos\)の関係から、\(0°\)から\(180°\)では\(\sin\)が正であることに注意して、

\begin{align}
\sin{∠ABC}&=\sqrt{1-\cos^2{∠ABC}} \\
&=\sqrt{1-\frac{4}{9}} \\
\sin{∠ABC}&=\frac{\sqrt{5}}{3}
\end{align}

\(\tag{ウエ}\)

 

\(△ABC\)の面積は?

 

公式に当てはめて、面積を\(S\)として

\begin{align}
S&=\frac{1}{2}AB{\cdot}BC{\cdot}\sin{∠ABC} \\
&=\frac{1}{2}{\cdot}5{\cdot}6{\cdot}\frac{\sqrt{5}}{3} \\
&=5\sqrt{5}
\end{align}

\(\tag{オカ}\)

 

(2) 1辺の長さが\(8\)の正方形\(DEFG\)において辺\(EF\)上の点\(H\)と辺\(FG\)上の点\(I\)は\(\cos{∠DIG}=\displaystyle{\frac{3}{5}}, \tan{∠FIH}=2\)を満たすとする。

(i) 辺\(DI\)と辺\(HI\)の長さは?

 

\(△DIG\)は直角三角形なので、三平方の定理から、

\begin{align}
DI&=\sqrt{IG^2+GD^2}
\end{align}

また、\(\cos{∠DIG}=\displaystyle{\frac{3}{5}}\)なので、

\begin{align}
\cos{∠DIG}&=\frac{IG}{DI} \\
\frac{3}{5}=&\frac{IG}{\sqrt{IG^2+GD^2}} \\
3\sqrt{IG^2+8^2}&=5IG \\
9(IG^2+64)&=25IG^2 \\
16IG^2&=576 \\
IG&=6
\end{align}

よって、

\begin{align}
DI=\sqrt{6^2+8^2}=10
\end{align}

\(\tag{キ}\)

 

ここで、\(IF=FG-IG=2\)なので、

\begin{align}
\tan{∠FIH}&=\frac{FH}{IF} \\
2&=\frac{FH}{2} \\
FH&=4
\end{align}

 

\(△FIH\)に三平方の定理を使って、

\begin{align}
HI&=\sqrt{FH^2+IF^2} \\
&=\sqrt{4^2+2^2} \\
&=2\sqrt{5}
\end{align}

\(\tag{ク}\)

 

(ii) \(△DEH, △DGI, △DHI\)のうち\(△HFI\)と相似なものはどれ?また、\(∠DIG\)と\(∠DIH\)の大きさ関係は?

 

まだわからない辺\(DH\)の長さを求める。まず、\(EH=EF-FH=4\)

\begin{align}
DH&=\sqrt{DE^2+EH^2} \\
&=\sqrt{8^2+4^2} \\
&=4\sqrt{5}
\end{align}

 

\(△HFI\)の辺の比は、\(IF:FH:HI=1:2:\sqrt{5}\)

\(△DEH\)の辺の比は、\(HE:ED:DH=1:2:\sqrt{5}\)

\(△DHI\)の辺の比は、\(IH:HD:DI=1:2:\sqrt{5}\)

よって、\(△HFI\)と相似なものは、\(△DEH\)と\(△DHI\)\(\tag{ケ}\)

 

次に角度の大きさを測るために\(\cos{∠DIH}\)を求める。

\(△DHI\)は直角三角形なので、

\begin{align}
\cos{∠DIH}&=\frac{IH}{DI} \\
&=\frac{2\sqrt{5}}{10} \\
&=\frac{\sqrt{5}}{5}
\end{align}

\(\cos{∠DIG}>\cos{∠DIH}\)なので、\(∠DIG<∠DIH\)\(\tag{コ}\)

 

(iii) \(△DHI\)の外接円の半径は?\(△DHI\)の内接円の半径は?

外接円の半径は\(R\)として正弦定理で、内接円の半径は\(r\)として面積から求める。

まず、\(\sin{∠DIH}\)を求める。

\begin{align}
\sin{∠DIH}&=\sqrt{1-\cos^2{∠DIH}} \\
&=\sqrt{1-\frac{1}{5}} \\
&=\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{align}

正弦定理から

\begin{align}
2R&=\frac{DH}{\sin{∠DIH}} \\
&=\frac{4\sqrt{5}}{\displaystyle{\frac{2\sqrt{5}}{5}}} \\
&=10 \\
R&=5
\end{align}

\(\tag{サ}\)

 

また、\(△DHI\)の面積\(S\)は

\begin{align}
S&=\frac{1}{2}{\cdot}DI{\cdot}IH\sin{∠DIH} \\
&=\frac{1}{2}{\cdot}10{\cdot}2\sqrt{5}{\cdot}\frac{2\sqrt{5}}{5} \\
&=20
\end{align}

よって、\(r\)は、

\begin{align}
S&=\frac{1}{2}{\cdot}r(DI+IH+HD) \\
20&=\frac{1}{2}{\cdot}r(10+2\sqrt{5}+4\sqrt{5}) \\
20&=r(5+3\sqrt{5}) \\
20(5-3\sqrt{5})&=r(5+3\sqrt{5})(5-3\sqrt{5}) \\
20(5-3\sqrt{5})&=-20r \\
r&=3\sqrt{5}-5
\end{align}

\(\tag{シスセ}\)

 

(3) (2)の\(△DHI\)を含む平面上にない点\(J\)を\(HJ{\perp}HD, HJ{\perp}HI, HJ=8\)を満たすようにとり、四面体\(JDHI\)を考える。

(1)を考慮すると、\(△IDJ\)の面積は?

\(△IHJ\)と\(△IDHJ\)は直角三角形なので\(IJ, DJ\)を求める。

\begin{align}
IJ&=\sqrt{HJ^2+IH^2} \\
&=\sqrt{8^2+(2\sqrt{5})^2} \\
&=2\sqrt{21}
\end{align}
\begin{align}
DJ&=\sqrt{HJ^2+DH^2} \\
&=\sqrt{8^2+(4\sqrt{5})^2} \\
&=12
\end{align}

\(DI=10\)だったので、(1)の三角形と相似で面積比は\(1:4\)

よって面積は\(20\sqrt{5}\)\(\tag{ソタチ}\)

 

点\(H\)から\(△IDJ\)に下ろした垂線\(HK\)の長さは?

まず、四面体\(JDHI\)の体積\(V\)を求める。そのために\(△DHI\)の面積\(S\)が必要。

\begin{align}
\sin{∠DIH}&=\sqrt{1-\cos^2{∠DIH}} \\
&=\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{align}
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}{\cdot}DI{\cdot}IH\sin{∠DIH} \\
&=\frac{1}{2}{\cdot}10{\cdot}2\sqrt{5}\frac{2\sqrt{5}}{5} \\
&=20
\end{align}

\(V\)は\(△DHI\)の面積と\(HJ\)の積を\(3\)分の\(1\)したものなので、

\(V=20\times8\div3\)

 

また、\(V\)は\(△IDJ\)と\(HK\)の積を\(3\)分の\(1\)したものでもあるので、

\begin{align}
V&=20\sqrt{5}{\times}HK\div3 \\
20\times8\div3&=20\sqrt{5}{\times}HK\div3 \\
HK&=\frac{8\sqrt{5}}{5}
\end{align}

\(\tag{ツテト}\)

 

第4問:データの分析

 

(1) 99個の観測値からなるデータがあるとき、四分位数についてどのようなデータでも成り立つものは?

0. 平均値は第1四分位数と第3四分位数の間にある

1. 四分位数範囲は標準偏差より大きい

2. 中央値より小さい観測値の個数は49個

3. 最大値に等しい観測値を1つ削除しても第1四分位数は変わらない

4. 第1四分位数より小さい観測値と第3四分位数より大きい観測値をすべて削除すると、残りの観測値は51個である

5. 第1四分位数より小さい観測値と第3四分位数より大きい観測値をすべて削除すると、残りの観測値からなるデータ範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい

 

0, 1, 2, 4は誤り、3, 5は正しい。\(\tag{アイ}\)

 

0と1のみ観測値の場合で0が1つ、1が98個の場合で考えると、0, 1, 2, 4が除外されます。

0:平均値0.989…に対し、第1四分位数と第3四分位数は1です。

1:四分位数範囲が0に対し、標準偏差は正になります。

2:中央値が1なので、1より小さい数を除くと98個の1が残ります。

4:第1四分位数と第3四分位数は1なので、第1四分位数より小さい観測値と第3四分位数より大きい観測値をすべて除くと98個の1が残ります。

 

(2) 図を見て正しいものを選ぶ問題

(I) 四分位範囲はどの都道府県でも1以下である

(II)箱ひげ図は中央値が小さい値から大きい値の順に上から並んでいる

(III) P1のどのデータの値をとっても、P47のどのデータの値より小さい

 

(I),(II)は誤り、(III)は正しい。よって6番が正しい。\(\tag{ウ}\)

 

(3) ヒストグラムを見て対応する箱ひげ図を選ぶ問題

最小値が79.5-80.0の間に、最大値が81.5-82.0の間にある、さらに箱部分が80.0-81.0寄りになっている4番が正しい\(\tag{エ}\)

 

(4) 図を見て正しいヒストグラムを選ぶ問題

平均寿命の差が6.0-7.0あたりがピークになっており山形になっている、3番が正しい\(\tag{オ}\)

 

(5) 0または正の値のみをとるデータの散らばりの大きさを比較するために

\begin{align}
変動係数=\frac{標準偏差}{平均} \\
\end{align}

で定義される「変動係数」を用いる。ただし、平均は0でないとする。

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
&人数(人) &平均(歳) &標準偏差(歳) &変動係数 \\ \hline
昭和25年 &42,385,487 &27.2 &20.1 &V \\ \hline
平成27年 &63,403,994 &48.1 &24.5 &0.509 \\ \hline
\end{array}

 

表を見て正しい選択肢を選ぶ問題

昭和25年の変動係数\(V\)と平成27年の変動係数の大小関係は?

 

\(V\)を求めると、\(V=\displaystyle{\frac{20.1}{27.2}=0.73…}\)なので、\(V>0.509\)\(\tag{カ}\)

 

以下は小さくなる、変わらない、小さくなる、10倍になる、100倍になるのどれか。

・平成27年の年齢データの値すべてを100倍すると、変動係数は?

・平成27年の年齢データの値すべてに100を加えると、変動係数は?

 

100倍すると、平均は100倍に、標準偏差も100倍になるので、変わらない。\(\tag{キ}\)

100を加えると、平均は+100に、標準偏差は変わらないので、小さくなる。\(\tag{ク}\)