【2020年1月】最後のセンター試験:数学Ⅱの解説をしてみる

こんにちは。

今年は最後のセンター試験が行われましたね。

数学好きの私としては記念に解いてみたくなったので、数学IIの問題を解きついでに解説をしたいと思います。

問題部分は赤マーカーしており、多少略して記載してます。

しっかりした問題は東進のページからどうぞ

https://www.toshin.com/center/sugaku-2_mondai_0.html

 

数学Ⅰや数学ⅠAや数学ⅡBの解説をお探しなら。

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第1問

 

その1:三角関数

 

(1) \(0\;{\leq}\;{\theta}<2\pi\)のとき\((\sin{\theta}>\sqrt{3}\cos{(\theta-\displaystyle{\frac{\pi}{3}})})\)となる\(\theta\)の範囲を求めたい。

\(\sqrt{3}\cos{(\theta-\displaystyle{\frac{\pi}{3}})}\)を加法定理を用いて変形すると?

\begin{align}
\sqrt{3}\cos{(\theta-\frac{\pi}{3})}&=\sqrt{3}(\cos{\theta}\cos{\frac{\pi}{3}}+\sin{\theta}\sin{\frac{\pi}{3}}) \\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{\theta}
\end{align}

\(\tag{アイウ}\)

三角比の合成を用いて与えられた不等式を変形すると?

\begin{align}
\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{\theta}&<\sin{\theta} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta}+\frac{1}{2}\sin{\theta}&<0 \\
\sin{\frac{\pi}{3}}\cdot\cos{\theta}+\cos{\frac{\pi}{3}}\cdot\sin{\theta}&<0 \\
\sin{(\theta+\frac{\pi}{3})}&<0
\end{align}

\(\tag{エ}\)

 

したがって、求めるべき\(\theta\)の範囲は?

\(\pi<(\theta+\displaystyle{\frac{\pi}{3}})<2\pi\;\)なので、

\begin{align}
\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}<\theta<\displaystyle{\frac{5\pi}{3}}
\end{align}

\(\tag{オカキク}\)

 

(2) \(0\;{\leq}\;\theta\;{\leq}\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\)とし、\(k\)を実数とする。\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)は\(\;25x^2-35x+k=0\)の解とする。

解と係数の関係から\(\sin{\theta}+\cos{\theta}\)と\(\sin{\theta}\cos{\theta}\)がわかる。このとき、\(k\)の値を求めると?

 

解と係数の関係から、\(\sin{\theta}+\cos{\theta}=\displaystyle{\frac{35}{25}}=\displaystyle{\frac{7}{5}}\)、\(\sin{\theta}\cos{\theta}=\displaystyle{\frac{k}{25}}\)

また、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)も使うと、

\begin{align}
k&=25(\sin{\theta}\cos{\theta}) \\
&=25\;\frac{(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2-(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}{2} \\
&=\frac{49-25}{2}=12
\end{align}

\(\tag{ケコ}\)

 

\(\sin{\theta}\;\geq\;\cos{\theta}\)のときの\(\sin{\theta}, \cos{\theta}\)の値は?

 

2次方程式を素直に解けば良い。

\begin{align}
25x^2-35x+12&=0 \\
(5x-3)(5x-4)&=0
\end{align}

条件に注意して、\(\sin{\theta}=\displaystyle{\frac{4}{5}}, \cos{\theta}=\displaystyle{\frac{3}{5}}\)\(\tag{サシスセ}\)

 

このときの\(\theta\)の範囲は?(正しいものを選ぶ問題)

\(0\;{\leq}\;\theta\;{\leq}\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\)のとき\(\sin\)は単調増加なので\(\sin{\theta}=\displaystyle{\frac{4}{5}}\)がどのあたりかを探ればいい。

\begin{align}
\sin{\frac{\pi}{4}}&=0.707… \\
\sin{\frac{\pi}{3}}&=0.866… \\
\frac{4}{5}&=0.8
\end{align}

なので、

 

\begin{align}
\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\;\leq\;\theta<\displaystyle{\frac{\pi}{3}}
\end{align}

が正解\(\tag{ソ}\)

 

その2:指数対数

 

(1) \(t\)は正の実数。\(t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3\)とする。

このとき、\(t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}\)の値は?

 

両辺2乗してやればいい。

\begin{align}
(t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}})^2&=(-3)^2 \\
t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}-2&=9 \\
\end{align}

よって、\(t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}=11\)\(\tag{タチ}\)

 

\(t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}\)の値と\(t-t^{-1}\)の値は?

\begin{align}
(t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}})^2&=t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}}+2 \\
&=11+2=13
\end{align}

\(t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}\)は正なので、

\begin{align}
t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{13}
\end{align}

\(\tag{ツテ}\)

 

また、

\begin{align}
t-t^{-1}&=(t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}})^3+3(t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}) \\
&=(-3)^3+3\cdot(-3)=-36
\end{align}

\(\tag{トナニ}\)

 

(2) \(x, y\)は正の実数。以下の連立不等式を考える。

\begin{cases}
\log_{3}x\sqrt{y}\;\leq\;5 \\
\log_{81}\displaystyle{\frac{y}{x^3}}\;\leq\;1
\end{cases}

 

\(X=\log_{3}x, Y=\log_{3}y\)と置くと、連立方程式はどう変形できるか?

\begin{align}
\log_{3}x\sqrt{y}&\;\leq\;5 \\
\log_{3}x+\frac{1}{2}\log_{3}y&\;\leq\;5 \\
2X+Y&\;\leq\;10
\end{align}

\(\tag{ヌネノ}\)

 

\begin{align}
\log_{81}\frac{y}{x^3}&\;\leq\;1 \\
\log_{81}y-3\log_{81}x&\;\leq\;1 \\
\frac{\log_{3}y}{\log_{3}81}-3(\frac{\log_{3}x}{\log_{3}81})&\;\leq\;1 \\
3X-Y&\;\geq\;-4
\end{align}

\(\tag{ハヒフ}\)

 

\(X, Y\)が上で求めた不等式を満たすとき\(Y\)の取りうる最大の整数は?

それぞれ、3倍、2倍して\(Y\)を左辺に持っていくと、

\begin{cases}
3Y\;\leq\;30-6X \\
2Y\;\leq\;6X+8
\end{cases}

足し合わせて\(5\)で割ると、\(Y\;\leq\;\displaystyle{\frac{38}{5}}=7.6\)になる。

よって最大の整数は\(7\)\(\tag{へ}\)

 

\(x, y\)が問題の不等式を満たし、\(Y=7\)のとき、\(x\)の取りうる最大の整数は?

まず、\(X\)の範囲を求める。

\begin{cases}
2X+7\;\leq\;10 \\
3X-7\;\geq\;-4
\end{cases}

これから、\(X\)について整理すると、\(1\;\leq\;X\;\leq\;\displaystyle{\frac{3}{2}}\)がわかる。

よって、\(\log_{3}x\;\leq\;\displaystyle{\frac{3}{2}}\)であり、\(3\)は正なので、\(f(a)=3^a\)は単調増加。

\begin{align}
x=3^{\log_{3}x}\;\leq\;3^{\frac{3}{2}}=5.19…
\end{align}

最大の整数は\(5\)\(\tag{ホ}\)

 

第2問:微分・積分

 

\(a>0\)とし、曲線\(D:f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1\)と置く。放物線\(C:y=x^2+2x+1\)とする。また、直線\(l:\)\(C\)と\(D\)の両方に接する直線とする。

(1)\(l\)の方程式を求めたい。

\(l\)が\(C\)と点\((t, t^2+2t+1)\)で接しているとすると、\(l\)はどう表せるか?

 

\(C\)を\(g(x)\)、\(l\)を\(h(x)\)とおく。

\((t, t^2+2t+1)\)における接線の傾きは、\(g'(t)=2t+2\)なので、\(b\)を定数として

\(h(x)=(2t+2)x+b\)と置ける。

\((t, t^2+2t+1)\)を代入して\(b\)を求めると、

\begin{align}
t^2+2t+1&=(2t+2)t+b \\
b&=-t^2+1 \\
\end{align}

よって\(l\)は、\(y=(2t+2)x-t^2+1\)\(\tag{アイウ}\)

 

\(l\)と\(D\)が\((s, f(s))\)で接するとすると\(l\)の方程式は?

 

上と同様に接線の傾きは、

\(f'(s)=2s-(4a-2)\)と置ける。

また\(l\)を定数\(c\)を用いて、

\(h(x)=(2s-4a+2)x+c\)と置いて、接点を代入すると、

\begin{align}
s^2-(4a-2)s+4a^2+1&=(2s-4a+2)s+c \\
c&=-s^2+4a^2+1 \\
\end{align}

よって\(l\)の方程式は、

\(y=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1\)と表せる。\(\tag{エオカキク}\)

 

ここで、\(l\)は同じ方程式であることから、\(s, t\)を\(a\)の式で表すと?

 

求めた\(l\)の方程式を係数比較して

\begin{cases}
2t+2=2s-4a+2 \\
-t^2+1=-s^2+4a^2+1 \\
\end{cases}

これを整理すると

\begin{cases}
t=s-2a \\
t^2=s^2-4a^2 \\
\end{cases}

上の式を下の式に代入し、\(t\)を消去すると

\begin{align}
(s-2a)^2&=s^2-4a^2 \\
-4as+4a^2&=-4a^2 \\
as&=2a^2
\end{align}

\(a\neq0\)だから、\(a\)で割って

\begin{align}
s&=2a
\end{align}

また、この求めた\(s\)を\(t=s-2a\)に代入すると、

\begin{align}
t&=s-2a \\
t&=2a-2a=0
\end{align}

以上から、\(t=0, s=2a\)\(\tag{ケコ}\)

 

これから、\(l\)の方程式を求めよ

 

\(l\)の方程式、\(y=(2t+2)x-t^2+1\)\(t=0\)を代入すると、

求める\(l\)の方程式は\(h(x)=2x+1\)とわかる。\(\tag{サシ}\)

 

(2) \(C, D\)の交点の\(x\)座標は?

 

\(f(x)=g(x)\)を解く。

\begin{align}
x^2-(4a-2)x+4a^2+1&=x^2+2x+1 \\
-(4a)x+4a^2&=0
\end{align}

\(a\neq0\)だから\(a\)で割って

\begin{align}
x&=a
\end{align}

\(\tag{ス}\)

 

\(C\)と\(l\)と\(x=a\)で囲まれた部分の面積\(S\)は?

 

\(l\)と\(C\)は\((0, 1)\)で交わるので、\(0\)から\(a\)の範囲で積分すればいい。

\begin{align}
S&=\int_0^a(g(x)-h(x))dx \\
&=\int_0^a(x^2+2x+1-2x-1)dx \\
&=[\frac{1}{3}x^3]_0^a \\
&=\frac{a^3}{3}
\end{align}

\(\tag{セソ}\)

 

(3) \(a\;\geq\;\displaystyle{\frac{1}{2}}\)とする。\(C, D, l\)で囲まれた部分の面積の中で、\(0\;\leq\;x\;\leq\;1\)を満たす部分の面積\(T\)は?

 

\(C\)と\(D\)の交点の\(x\)座標である\(a\)の値により変わる。

(i) \(a>1\)のとき\(\tag{タ}\)

\(0\)から\(1\)の間で\(C\)と\(D\)は交わらないので、

\begin{align}
T&=\int_0^1(g(x)-h(x))dx \\
&=\int_0^1(x^2+2x+1-2x-1)dx \\
&=[\frac{1}{3}x^3]_0^1 \\
&=\frac{1}{3}
\end{align}

\(\tag{チツ}\)

 

(ii) \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\;\leq\;a\;\leq\;1\)のとき

\(C\)と\(D\)の交わりを考慮して、

\begin{align}
T&=\int_0^a(g(x)-h(x))dx+\int_a^1(f(x)-h(x))dx \\
&=\int_0^a(x^2+2x+1-2x-1)dx \\
&\quad+\int_a^1(x^2-(4a-2)x+4a^2+1-2x-1)dx \\
&=[\frac{1}{3}x^3]_0^a+[\frac{1}{3}x^3-2ax^2+4a^2x]_a^1 \\
&=\frac{a^3}{3}+(\frac{1}{3}-2a+4a^2)-(\frac{a^3}{3}-2a^3+4a^3) \\
&=\frac{1}{3}-2a+4a^2+2a^3-4a^3 \\
&=-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}
\end{align}

\(\tag{テトナニヌ}\)

 

(4) \(U=2T-3S\)と置く。\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\;\leq\;a\;\leq\;1\)のとき、\(U\)の最大値とその時の\(a\)の値は?

\begin{align}
U&=2(-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3})-3(\frac{a^3}{3}) \\
&=-4a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}-a^3 \\
&=-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3} \\
U’&=-15a^2+16a-4=-(5a-2)(3a-2)
\end{align}

よって、\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\;\leq\;a\;\leq\;1\)なので、\(a=\displaystyle{\frac{2}{3}}\)で最大値をとる。\(\tag{ネノ}\)

このとき、最大値は\(U=\displaystyle{\frac{2}{27}}\)\(\tag{ハヒフ}\)

 

第3問:円

 

\(O\)を原点とする座標平面上に点\(A(0, 6)\)をとる。点\(A\)を通る傾き\(m\)の直線を\(l\)とし、中心が\((0, 2)\)で\(x\)軸に接する円を\(C\)とする。

(1) 直線\(l\)の方程式と円\(C\)の方程式は?

 

直線\(l\)の方程式は、傾き\(m\)で\(A\)を通ることから求められる。

\(l\)を\(y=mx+b\)とおく。\(A(0, 6)\)を通るから、

\begin{align}
6&=0m+b \\
b&=6
\end{align}

直線\(l\)の方程式は\(y=mx+6\)\(\tag{ア}\)

 

円\(C\)は中心が\((0, 2)\)で\(x\)軸に接する円なので、半径は\(2\)

\begin{align}
x^2+(y-2)^2=4
\end{align}

\(\tag{イウ}\)

 

(2) \(l\)と\(C\)が接するときの\(m\)は?

\(l\)の式と\(C\)の式を連立すればいい。\(C\)の式に\(l\)の式を代入する。

\begin{align}
x^2+(mx+6-2)^2&=4 \\
x^2+m^2x^2+8mx+16&=4 \\
(1+m^2)x^2+8mx+12&=0
\end{align}

これの判別式が\(0\)になればいい

\begin{align}
(4m)^2-12(1+m^2)&=0 \\
16m^2-12-12m^2&=0 \\
4m^2&=12 \\
m=\pm\sqrt{3}
\end{align}

\(m=\pm\sqrt{3}\)のとき接する。\(\tag{エ}\)

 

\(m=-\sqrt{3}\)のとき接点の座標は?

 

\(l\)と\(C\)を連立したときの式、\((1+m^2)x^2+8mx+12=0\)に\(m=-\sqrt{3}\)を代入

\begin{align}
(1+(-\sqrt{3})^2)x^2+8(-\sqrt{3})x+12&=0 \\
x^2-2\sqrt{3}x+3&=0 \\
(x-\sqrt{3})^2&=0 \\
x=\sqrt{3}
\end{align}

これを\(l\)の式に代入して、

\begin{align}
y&=-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+6 \\
y&=3
\end{align}

よって、接点は\((\sqrt{3}, 3)\)\(\tag{オカ}\)

 

(3) 直線\(l\)と円\(C\)が2点で交わるような\(m\)のうち、最小の正の整数は?

まず、2点で交わるような\(m\)の範囲を求める。

先程の連立した式\((1+m^2)x^2+8mx+12=0\)の判別式が正になればいいので、

\begin{align}
(4m)^2-12(1+m^2)&>0 \\
16m^2-12-12m^2&>0 \\
m^2&>3 \\
m<-\sqrt{3}, \sqrt{3}<m
\end{align}

これより、最小の正の整数は\(2\)である。\(\tag{キ}\)

 

(4) 直線\(l\)が点\(B(3, 0)\)を通るとき、\(m\)の値は?

\(l\)の方程式に\(B\)を代入して、

\begin{align}
0&=3m+6 \\
m&=-2
\end{align}

\(\tag{クケ}\)

 

\(l\)と\(C\)の2つの交点を\(A\)に近い方から\(D, E\)として、その座標は?

\(l\)の式\(y=-2x+6\)と\(C\)の式を連立して、

\begin{align}
x^2+(-2x+6-2)^2&=4 \\
x^2+4x^2-16x+16&=4 \\
5x^2-16x+12&=0 \\
(5x-6)(x-2)&=0 \\
x=\frac{6}{5}, 2&
\end{align}

\(x=\displaystyle{\frac{6}{5}}\)のとき

\begin{align}
y&=-2\cdot\frac{6}{5}+6 \\
&=\frac{18}{5}
\end{align}

\(x=2\)のとき

\begin{align}
y&=-2\cdot2+6 \\
&=2
\end{align}

よって、\(D(\displaystyle{\frac{6}{5}}, \displaystyle{\frac{18}{5}}), E(2, 2)\)

\(\tag{コサシスセソタ}\)

 

このとき、\(△OAB\)の面積から\(△ODE\)の面積\(S\)を求めたい。\(△OAB\)の面積は?

\(△OAB\)は直角三角形なので、面積は

\begin{align}
&\frac{1}{2}{\cdot}OA{\cdot}OB \\
=&\frac{1}{2}\cdot6\cdot3 \\
=&9
\end{align}

\(\tag{チ}\)

 

点\(A, D, E, B\)の各\(x\)座標の値から、\(AD:DE:EB\)は何対何対5になるか?

 

\(A, D, E, B\)は\(l\)上の点で同一直線上にあるので、\(x\)座標の比が線分の比になる。

\(A(0, 6), D(\displaystyle{\frac{6}{5}}, \displaystyle{\frac{18}{5}}), E(2, 2), B(3, 0)\)なので、

\begin{align}
AD:DE:EB&=\frac{6}{5}:(2-\frac{6}{5}):(3-2) \\
&=6:4:5
\end{align}

\(\tag{ツテ}\)

 

\(△ODE\)の面積\(S\)は?

 

\(△OAD, △ODE, △OEB\)は同じ高さをもつ三角形で面積の和は\(△ABC\)の面積に一致する。

よって、\(△ODE\)の面積は、\(△ABC\)の面積の\(\displaystyle{\frac{4}{6+4+5}}=\displaystyle{\frac{4}{15}}\)になる。

\begin{align}
S=9\cdot\frac{4}{15}=\frac{12}{5}
\end{align}

\(\tag{トナニ}\)

 

第4問:整式と複素数

 

4次の整式\(P(x)=2x^4-7x^3+8x^2-21x+18\;\)について考える。

(1) \(P(x)=0\)の解を求めたい。

\(P(0)\neq0\)だから、\(x=0\)は\(P(x)=0\)の解ではない。

そこで、\(P(x)=0\)の両辺を\(x^2\)で割ると、

\begin{align}
2x^2-7x+8-\frac{21}{x}+\frac{18}{x^2}=0・・・①
\end{align}

\(t=x+\displaystyle{\frac{3}{x}}\)と置いたとき、①の式は\(t\)を用いてどう表せる?

\begin{align}
2x^2-7x+8-\frac{21}{x}+\frac{18}{x^2}&=0 \\
2(x^2+6+\frac{9}{x^2})-7(x+\frac{3}{x})-4&=0 \\
2(x+\frac{3}{x})^2-7(x+\frac{3}{x})-4&=0 \\
2t^2-7t-4&=0
\end{align}

\(\tag{アイウ}\)

 

これを解くと、\(t\)の値は?

\begin{align}
2t^2-7t-4&=0 \\
(2t+1)(t-4)&=0 \\
t=4, &\;\frac{-1}{2}
\end{align}

\(\tag{エオカキ}\)

 

\(t=4\)のとき、\(x\)の値は?

\begin{align}
x+\frac{3}{x}&=4 \\
x^2-4x+3&=0 \\
(x-3)(x-1)&=0 \\
x=1, &\;3
\end{align}

\(\tag{クケ}\)

 

\(t=\displaystyle{\frac{-1}{2}}\)のとき、\(x\)の値は?

\begin{align}
x+\frac{3}{x}&=\frac{-1}{2} \\
2x^2+x+6&=0
\end{align}

これを解いて、\(x=\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt{47}i}{4}}\)\(\tag{コサシスセ}\)

 

(2) \(\alpha=1-\sqrt{3}i\;\)に対して\(P(\alpha)\)を求めたい。

\((\alpha-1)^2\)の値は?

\begin{align}
(\alpha-1)^2&=(1-\sqrt{3}i-1)^2 \\
&=-3
\end{align}

\(\tag{ソタ}\)

 

これを整理して、\(\alpha\)の2次式=0の形で表すと?

\begin{align}
(\alpha-1)^2&=-3 \\
{\alpha}^2-2\alpha+4&=0
\end{align}

\(\tag{チツ}\)

 

\(P(x)\)を\(x^2-2x+4\)で割ったとき、商とあまりは?

\begin{array}{r}
2x^2-3x-6\\
x^2-2x+4 \
\overline{ ) \ 2x^4-7x^3+8x^2-21x+18 } \\
\underline{ 2x^4-4x^3+8x^2\color{White}{+11x}\color{White}{-11} } \\
\color{White}{x^4}-3x^3\color{White}{+1x^2}-21x\color{White}{-11} \\
\underline{ \color{White}{x^4}-3x^3+6x^2-12x\color{White}{-11}} \\
\color{White}{x^4}\color{White}{-1x^3}-6x^2-\color{White}{0}9x+18 \\
\underline{ \color{White}{x^4}\color{White}{-1x^3}-6x^2+12x-24} \\
-21x+42
\end{array}

よって、商は\(2x^2-3x-6\)、あまり\(-21(x-2)\)\(\tag{テトナニヌネノ}\)

 

したがって、\(P(\alpha)\)の値は?

剰余の定理から、あまりに\(\alpha\)を代入すればいい。

\begin{align}
P(\alpha)&=-21(\alpha-2) \\
&=21(1+\sqrt{3}i)
\end{align}

\(\tag{ハヒフ}\)