この間、4乗の和の公式について扱うことがありました。
なので、和を表す記号Σの4乗と5乗の計算と導出方法と結果を記事にしてみました。
数式の表示に時間がかかる場合がありますが、ご容赦ください。
高校で習うΣの基本公式の復習
まず、説明は省きますが、これから使用する\(\sum\)の公式を思い出していきましょう。
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}k&=\frac{1}{2}n(n+1) \\
\sum_{k=1}^{n}k^2&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
\sum_{k=1}^{n}k^3&=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2
\end{align}
思い出したところで本題へ行きましょう。
Σの4乗の公式
やり方は基本的に\(3\)乗の導出方法と変わりません。
まず、\(k+1\)の\(5\)乗と\(k\)の\(5\)乗の差分を計算します。
(k+1)^5-k^5&=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k^5 \\
&=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \\
\end{align}
両辺\(1\)を代入したものから\(n\)を代入したものを足し合わせると、
(左辺)&=\{(n+1)^5-n^5\}+\{n^5-(n-1)^5\}+…+\{2^5-1^5\}) \\
&=(n+1)^5-1 \\
\end{align}
(右辺)&=\sum_{k=1}^{n}(5k^4)+\sum_{k=1}^{n}(10k^3)+\sum_{k=1}^{n}(10k^2)+\sum_{k=1}^{n}(5k)+\sum_{k=1}^{n}(1) \\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+n \\
\end{align}
\(\sum\)の\(4\)乗が式に現れたのでこれを左辺にもっていきます。
5\sum_{k=1}^{n}k^4&=(n+1)^5-1-10\sum_{k=1}^{n}k^3-10\sum_{k=1}^{n}k^2-5\sum_{k=1}^{n}k-n \\ \\
&=(n+1)^5-10\cdot\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2 \\
&\quad\quad-10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1) \\ \\
&=(n+1)^5-10\cdot\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
&\quad\quad-10\cdot\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+n)-5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1) \\
\end{split}
ここで、\(n+1\)が共通因数として現れたので、
5\sum_{k=1}^{n}k^4&=(n+1)\{(n+1)^4-\frac{5}{2}(n^3+n^2) \\
&\quad\quad-\frac{5}{3}(2n^2+n)-\frac{5}{2}n-1\} \\ \\
&=\frac{1}{6}(n+1)\{6n^4+24n^3+36n^2+24n \\
&\quad\quad-15n^3-15n^2-20n^2-10n-15n\} \\ \\
&=\frac{1}{6}(n+1)(6n^4+9n^3+n^2-n) \\ \\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1) \\ \\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(n+\frac{1}{2})(6n^2+6n-2) \\ \\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\ \\
\end{split}
よって、
\sum_{k=1}^{n}k^4&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
\end{split}
式が長くなってしまいましたが、しっかりと求まりました。
Σの5乗の公式
また\(k+1\)と\(k\)の\(6\)乗の差を計算するところから始めましょう。
(k+1)^6-k^6&=k^6+6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1-k^6 \\
&=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1 \\
\end{align}
両辺\(1\)を代入したものから\(n\)を代入したものを足し合わせると、
(左辺)&=\{(n+1)^6-n^6\}+\{n^6-(n-1)^6\}+…+\{2^6-1^6\} \\
&=(n+1)^6-1 \\
\end{align}
(右辺)&=\sum_{k=1}^{n}(6k^5)+\sum_{k=1}^{n}(15k^4)+\sum_{k=1}^{n}(20k^3)+\sum_{k=1}^{n}(15k^2)+\sum_{k=1}^{n}(6k^2)+\sum_{k=1}^{n}(1) \\
&=6\sum_{k=1}^{n}k^5+15\sum_{k=1}^{n}k^4+20\sum_{k=1}^{n}k^3+15\sum_{k=1}^{n}k^2+6\sum_{k=1}^{n}k+n \\
\end{align}
\(\sum\)の\(5\)乗が式に現れたのでこれを左辺にもっていきます。
6\sum_{k=1}^{n}k^5&=(n+1)^6-1-15\sum_{k=1}^{n}k^4-20\sum_{k=1}^{n}k^3 \\
&\quad\quad-15\sum_{k=1}^{n}k^2-6\sum_{k=1}^{n}k-n \\ \\
&=(n+1)^6-15\cdot\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
&\quad\quad-20\cdot\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2-15\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&\quad\quad\quad\quad-6\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1) \\ \\
&=(n+1)^6-15\cdot\frac{1}{30}(n+1)(6n^4+9n^3+n^2-n) \\
&\quad\quad-20\cdot\frac{1}{4}n^2(n+1)^2-15\cdot\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+n) \\
&\quad\quad\quad\quad-6\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1) \\ \end{split}
\(n+1\)をくくりだして
&\quad\quad-5(n^3+n^2)-\frac{5}{2}(2n^2+n)-3n-1\} \\ \\
&=\frac{1}{2}(n+1)\{2n^5+10n^4+20n^3+20n^2 \\
&\quad\quad+10n+2-6n^4-9n^3-n^2+n-10n^3 \\
&\quad\quad\quad\quad-10n^2-10n^2-5n-6n-2\} \\ \\
&=\frac{1}{2}(n+1)(2n^5+4n^4+n^3-n^2) \\ \\
&=\frac{1}{2}n^2(n+1)(2n^3+4n^2+n-1) \\ \\
&=\frac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
\end{split}
両辺を\(6\)で割ると、
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n}k^5&=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
\end{split}
が求まりました。
まとめ
余談ですが、\({\displaystyle\sum}k^i\)の形をしているものの導出過程で\(\displaystyle(\sum_{k=1}^{n}1=n)\)と\(1\)が毎回現れることから、\(\displaystyle{\sum}k^i\)は\((n+1)\)を必ず因数に持つことがわかりますね。
\(5\)乗までの公式を導けましたが、残念ながら\(1\)乗、\(2\)乗、…と規則性はなさそうなので必要になったら導出するしかないです。
ということで今回のまとめ。
・\(\sum\)の4乗の公式は\(\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\)
・\(\sum\)の5乗の公式は\(\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^5=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)\)